まずはご冥福をお祈りします。3年前私も9月に5ヶ月の１人餌になったオカメインコノーマルを飼い始めました。1歳までは28度それ以降は22度くらいで満足そうです。
お話を読むと元から病気を持っていたと思われます。通常鼻水はなく、クシャミはしません。（水を飲んだあとは鼻に行った水を排出するため、鼻水、クシャミがあります）失礼ながら獣医さんがあまり鳥に詳しくなかったかも。
ペットショップの雛は狭いケージに数羽飼うのでメガバクテリアをはじめ色んな病気を持っています。お迎え健診の結果はどうだったでしょう？ソノウや糞の検査はされましたか？
信頼出来る獣医さんがおられたらぜひもう1回愛するこを迎えてください。

鳥取県でブリーダーをしております。
ご冥福をお祈りします。
まず、寒そうにしていたとは膨らんでいたという事でしょうか?
そうであれば温度的に間違った対応です。
膨らみがでた時点でまず病院に連れて行くべきでしたね。多分、真菌等による感染かと思います。
我が家では便検査をしてお譲りしてますが、基本的にショップとかで購入された場合は健康診断は必須です。

温度についてですが、春雛なら15度、秋雛20℃で大丈夫です。
You Tube等ではかなり高い温度で飼育される方がおられますが、大間違いです。
2年目からは不要です。不安なら15度で大丈夫です。
私の鳥友で外の官舎で飼育されている方は冬はベニヤをぶら下がるだけ、温度はマイナスになる事もありますが、全く問題ないです。

鳥さんのご冥福をお祈りします。

他の方も書かれて居る通り、
保温のし過ぎでの熱中症で在れば水分を与え
温度調整で回復します。

具合が悪そうな状態が続き血便まで出ていたとなると、感染症などの可能性が高いと思います。

鳥に詳しい獣医さんは少ないので、
次にお迎えされる事が有れば、鳥に強い
獣医さんを探してあげて頂きたいと思います。