はじめまして、コメント失礼いたします。
ご家族がお家にいらっしゃるときは暖房などついている状態で、いない時は消えているということでしょうか。
鳥さんは暖かい空気を吸いこむことで暖をとるため湯たんぽでは足りないと思います。
鳥さん用のヒーターとサーモスタットが売っているので、調べてそちらとゲージカバーなどで適温(月齢や種類によりますが)にあたためてあげてください。
また湿度も管理してあげると良いと思います。

また、お休みカバーもあるので寝る時はそちらを使用されるといいかと思います。

普段の飼育環境がわからないため、つらつらと書いてしまい申し訳ないですが、少しでもご家族とインコちゃんが幸せに暮らせますよう参考になったら嬉しいです。
https://www.porta-y.jp/feature/small_animals/budgerigar