はじめまして。文鳥2歳と暮らしているものです。
あくまでうちの子に基づいてですが、回答させていただきます。

■悩み1:これは手乗りと言って良いのでしょうか。
手乗り文鳥の定義は色々あるかも思いますが、ゲージを開けて自ら手や肩などに乗ってくれるのであれば信頼してくれている証拠かと思います。

■悩み2:このような環境変化は避けるべきでしょうか。
我が家でも日中はリビング、寝る際は寝室に移動してもらってます。9ヶ月とのことですが、文鳥は賢くルーティン化したことには慣れてくれる(とかかりつけの獣医師からはいわれました)ので、体重変化やアイリング、嘴などから健康状態が悪くなってないかの確認をしつつ変化に慣れてもらうのが良いと思います。

■悩み3:何か対策が必要でしょうか。
手乗りの子は人間をパートナーとしてみるため人間の近くにいたがります。それが可愛いところですが常に構ってあげられない場合は、止まり木や小さめのアスレチックなど用意してもいいかもしれません。
ただ、個体によりますがおもちゃになれるのに時間がかかる子もいるため、ボールなども今は興味を示さない(または怖い)がゲージから見えるところに常に置くなどしておくといつか遊んでくれたりします。

■悩み4:水浴びは必須という理解で良いでしょうか。
羽の健康などを保つために必要です。
苦手な子は霧吹きでやってあげたりすると聞きますが、お店ではどう水浴びしていたんでしょうか？
ゲージの下に水を張ったお皿を置いたり、テーブルの上に置くと急にやり出したり、ゲージにつけるのも１日で慣れるわけではないのでしばらくつけて様子を見ていると急にやり出したりもします。お店でどう水浴びしていたか聞いてみるのもいいかもしれません。

■悩み5:気にしなくて良いのでしょうか。
呼びなきかと思います。
毎回反応していると鳴いたらきてくれる、と学んで見えなくなると常に鳴いたりする子もいます。
お互いのストレスを減らすためにも、ご飯をあげる時間、放鳥時間(朝30分、夜30分など)を決めていくと文鳥も学んでいきます。
ずっと鳴いているようだったら反応はせず、ただ、人が見えるところ(リビング)にはいさせてあげて静かになったら構うなどしてあげるのが良いと思います。

■悩み6:低いでしょうか。
成鳥は20-25とも言われていますので問題ないと思います。実はゲージ内の温度と同様に大切なのが室内との温度差です。
放鳥する際の室内とゲージ内とで差が大きいと体調を崩しやすいのでそこも気をつけてあげると良いかと思います。

※すでに行っていたら申し訳ありませんが、お迎えしたら健康診断に連れて行くのがよいです。病院の獣医師の方などに水浴びなどについては相談してみてもいいかもしれません。
参考になりましたら幸いです。