文章だけでは獣医師でも診断は難しいと思います。
鳥に強い獣医師の元へ連れて行くのが早いでしょう。

流涙であれば、眼だけの問題、あるいは副鼻腔炎など
呼吸器系の問題等考えられますが、念のため、診断がつくまで
子供達には触れさせない方が無難ではないでしょうか。

ありがとうございます。